Chương 1 Toán 12: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số – Kiến thức đầy đủ

Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số dạy em cách đọc hành vi của một hàm số mà không cần tính giá trị tại vô số điểm. Chỉ từ đạo hàm, giới hạn và một số mốc đặc biệt, ta có thể biết đồ thị đi lên hay đi xuống, quay đầu ở đâu, tiến gần đường nào và đại lượng thực tế đạt mức tối ưu khi nào.

Mạch kiến thức của chương: dấu của đạo hàm cho ta bảng biến thiên; bảng biến thiên giúp hình dung đồ thị; từ đồ thị và sự biến thiên, ta giải được các bài toán tối ưu.

Phạm vi bài học: Nội dung được tổ chức theo năm bài của Toán 12 Kết nối tri thức, đối chiếu với khung Chương 1 và Chương trình giáo dục phổ thông ban hành theo Thông tư 32/2018/TT-BGDĐT, được dẫn chiếu trên Cổng Thông tin điện tử Chính phủ. Em có thể xem bản đồ toàn bộ kiến thức Toán 12 trước khi bắt đầu.

Tóm tắt nhanh trước khi học

• $f'(x)>0$ cho biết hàm số đi lên; $f'(x)<0$ cho biết hàm số đi xuống trên khoảng đang xét.
• Cực trị chỉ xuất hiện khi chiều biến thiên đổi từ tăng sang giảm hoặc từ giảm sang tăng; $f'(x_0)=0$ một mình chưa đủ.
• Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là kết quả so sánh trên toàn miền; cực trị chỉ mô tả hành vi quanh một điểm.
• Giới hạn giúp nhận biết tiệm cận; đạo hàm và giới hạn kết hợp thành bảng biến thiên và đồ thị.
• Bài toán thực tế phải được chuyển thành hàm mục tiêu một biến trên một miền có ý nghĩa trước khi lấy đạo hàm.

Mục lục và bản đồ kiến thức Chương 1

1. Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị – dùng dấu đạo hàm để lập bảng biến thiên.
2. Bài 2: Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất – so sánh các ứng viên trên toàn miền.
3. Bài 3: Đường tiệm cận – dùng giới hạn để mô tả các nhánh ở xa hoặc gần điểm gián đoạn.
4. Bài 4: Khảo sát và vẽ đồ thị – ghép toàn bộ dữ kiện thành một bức tranh thống nhất.
5. Bài 5: Ứng dụng thực tiễn – dùng đạo hàm để đưa ra quyết định tối ưu.

Bài 1 là nền móng. Bài 2 dùng lại điểm tới hạn và bảng biến thiên. Bài 3 bổ sung giới hạn. Bài 4 kết hợp ba bài đầu. Bài 5 đưa toàn bộ công cụ vào bài toán có bối cảnh thực tế.

Kiểm tra kiến thức đầu vào

Trước khi học, em có thể thử sáu câu ngắn dưới đây mà chưa xem đáp án. Kết quả không dùng để lấy điểm; nó chỉ giúp xác định phần kiến thức nền nào cần ôn lại.

1. Tập xác định của $y=\dfrac{x+1}{x-2}$ là gì?
2. Đạo hàm của $x^3-2x^2+5$ bằng bao nhiêu?
3. Giải bất phương trình $(x-1)(x+2)>0$.
4. $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x+1}{x-3}$ bằng bao nhiêu?
5. Trên trục số, biểu thức đổi dấu thế nào khi đi qua một nghiệm đơn?
6. Một hình chữ nhật có chu vi $20$ m. Nếu một cạnh là $x$ thì cạnh còn lại và miền của $x$ là gì?

Đáp án kiểm tra đầu vào

1. $\mathbb R\setminus\{2\}$. Câu này kiểm tra điều kiện mẫu khác $0$.
2. $3x^2-4x$. Nếu chưa ra kết quả này, phần cần ôn là đạo hàm của đa thức.
3. $x<-2$ hoặc $x>1$. Đây là phép xét dấu một tích gồm hai nhân tử bậc nhất.
4. Bằng $2$, là tỉ số hai hệ số bậc cao nhất. Phần kiến thức liên quan là giới hạn phân thức ở vô cực.
5. Biểu thức đổi dấu khi đi qua nghiệm đơn. Kỹ năng này sẽ được dùng liên tục khi lập bảng dấu đạo hàm.
6. Cạnh kia là $10-x$ và $0<x<10$. Nếu thiếu miền, em cần luyện cách chuyển điều kiện thực tế thành bất đẳng thức.

Ôn nhanh nền tảng trước khi vào chương

Nếu chưa làm được từ hai câu trở lên, nên dành khoảng 20–30 phút ôn phần dưới đây. Chỉ cần viết lại mỗi công thức một lần và thử một ví dụ ngắn, em sẽ đỡ bị ngắt mạch khi bước vào Bài 1.

Đạo hàm cần dùng

Dạng	Công thức	Điều cần nhớ
Lũy thừa	$(x^n)'=nx^{n-1}$	Hạ số mũ xuống làm hệ số rồi giảm số mũ đi $1$.
Tổng, hiệu	$(u\pm v)'=u'\pm v'$	Lấy đạo hàm từng hạng tử.
Tích	$(uv)'=u'v+uv'$	Không được lấy thành $u'v'$.
Thương	$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$	Cần $v\ne0$; chú ý đúng thứ tự ở tử.
Hàm hợp	$[g(u)]'=g'(u)u'$	Đạo hàm lớp ngoài rồi nhân đạo hàm lớp trong.

Giới hạn phân thức và bảng xét dấu

• Ở vô cực, chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $x$. Nếu hai đa thức cùng bậc, giới hạn là tỉ số hai hệ số dẫn đầu.
• Gần điểm làm mẫu bằng $0$, phải xét giới hạn bên trái và bên phải; mẫu bằng $0$ chưa đủ để kết luận có tiệm cận đứng.
• Để xét dấu một tích hoặc thương, hãy phân tích thành nhân tử, đánh dấu nghiệm và điểm làm mẫu bằng $0$, rồi xét dấu trên từng khoảng. Qua nghiệm bội lẻ dấu đổi; qua nghiệm bội chẵn dấu giữ nguyên.

Nếu em vẫn chưa chắc, hãy học chậm theo lộ trình Toán 12 Tập 1 hoặc dùng khóa luyện Toán theo chuyên đề để luyện thêm bài nền.

Chọn lộ trình học phù hợp

Em đang ở đâu?	Cách học đề xuất	Tiêu chí chuyển phần
Mất gốc hoặc sai từ ba câu đầu vào	Học tuần tự Bài 1 → Bài 5 và làm toàn bộ bài tập tự luyện.	Tự giải lại ví dụ mẫu và nói được lý do của từng bước.
Đang học trên lớp	Đọc trực giác trước tiết học; sau tiết học làm ví dụ và bẫy sai.	Làm đúng ít nhất hai trong ba câu luyện ngay của mỗi bài.
Ôn thi nhanh	Làm kiểm tra cuối chương trước; sai ở đâu quay lại đúng neo nội dung đó.	Đạt tối thiểu 8/10 và giải thích được các câu đúng/sai.

Không cần học hết chương trong một lượt. Mỗi buổi chỉ nên tập trung vào một hoặc hai bài, tự làm phần luyện tập rồi mới chuyển sang nội dung tiếp theo.

Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Trước khi vẽ đồ thị, ta cần biết hàm số đang tăng hay giảm và đổi chiều tại đâu. Đạo hàm giúp trả lời những câu hỏi đó mà chưa cần tính giá trị của hàm tại quá nhiều điểm.

Hiểu từ trực giác

Có thể hình dung đồ thị như một con đường được quan sát từ trái sang phải. Độ dốc dương nghĩa là đường đang đi lên, còn độ dốc âm nghĩa là đường đang đi xuống. Đạo hàm $f'(x)$ mô tả chính độ dốc ấy. Nếu dấu của $f'$ đổi từ dương sang âm, đồ thị tạo một đỉnh; nếu đổi từ âm sang dương, đồ thị tạo một đáy.

Khái niệm và định lí cần nắm

Hàm số $f$ đồng biến trên khoảng $K$ nếu $x_1<x_2$ luôn kéo theo $f(x_1)<f(x_2)$. Hàm số nghịch biến nếu $x_1<x_2$ kéo theo $f(x_1)>f(x_2)$.

Giả sử $f$ liên tục trên khoảng $K$ và có đạo hàm tại mọi điểm bên trong khoảng đó:

• Nếu $f'(x)>0$ với mọi $x\in K$ thì $f$ đồng biến trên $K$.
• Nếu $f'(x)<0$ với mọi $x\in K$ thì $f$ nghịch biến trên $K$.
• Nếu $f'(x)\ge0$ trên $K$ và chỉ bằng $0$ tại hữu hạn điểm thì $f$ vẫn đồng biến; tương tự, $f'(x)\le0$ và chỉ bằng $0$ tại hữu hạn điểm thì $f$ nghịch biến.

Một điểm $x_0$ nằm trong miền xác định được gọi là điểm tới hạn khi $f'(x_0)=0$ hoặc đạo hàm không tồn tại. Điểm tới hạn chỉ là ứng viên cực trị.

Dấu của $f'$ khi qua $x_0$	Kết luận
Dương → âm	$x_0$ là điểm cực đại; $f(x_0)$ là giá trị cực đại.
Âm → dương	$x_0$ là điểm cực tiểu; $f(x_0)$ là giá trị cực tiểu.
Không đổi dấu	Không có cực trị tại $x_0$.

Phân biệt: $x_0$ là điểm cực trị của hàm số; $f(x_0)$ là giá trị cực trị; $(x_0;f(x_0))$ là điểm cực trị của đồ thị.

Ví dụ mẫu: xét đơn điệu và cực trị

Đề bài: Xét sự biến thiên và tìm cực trị của $f(x)=x^3-3x$.

1. Tập xác định: $D=\mathbb R$.
2. Tính đạo hàm: $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.
3. Tìm mốc: $f'(x)=0$ khi $x=-1$ hoặc $x=1$.
4. Xét dấu: $f'>0$ trên $(-\infty;-1)$ và $(1;+\infty)$; $f'<0$ trên $(-1;1)$.
5. Đọc kết quả: hàm đồng biến trên hai khoảng ngoài, nghịch biến trên khoảng giữa. Tại $x=-1$, dấu đổi dương → âm nên có cực đại $f(-1)=2$. Tại $x=1$, dấu đổi âm → dương nên có cực tiểu $f(1)=-2$.

Kiểm tra: Ta có thể lấy một giá trị thử trong mỗi khoảng, chẳng hạn $x=-2,0,2$, để xác nhận dấu của đạo hàm lần lượt là dương, âm, dương.

Nhận dạng bài đơn điệu và cực trị

Dạng bài	Nhận biết trong đề	Cách xử lý	Điểm dễ sai
Xét đơn điệu từ công thức $f(x)$	Đề cho hàm số và hỏi khoảng tăng, giảm	Tìm tập xác định, tính $f'$, giải $f'=0$, lập bảng dấu rồi đọc các khoảng.	Gộp hai khoảng qua một điểm không thuộc tập xác định.
Tìm cực trị của hàm số	Đề hỏi số điểm cực trị, điểm cực trị hoặc giá trị cực trị	Tìm các mốc $f'=0$ hoặc $f'$ không tồn tại, sau đó kiểm tra sự đổi dấu của $f'$.	Thấy $f'=0$ là kết luận ngay có cực trị.
Đọc từ bảng dấu hoặc đồ thị $f'$	Đề chỉ cho thông tin về đạo hàm	Nhìn nơi $f'$ dương, âm và các điểm $f'$ đổi dấu. Không cần tìm lại công thức $f$.	Đếm mọi giao điểm của đồ thị $f'$ với $Ox$ là một cực trị.
Đọc từ bảng biến thiên hoặc đồ thị $f$	Đề cho sẵn hình hoặc bảng	Đọc chiều mũi tên để xác định đơn điệu; đọc vị trí chuyển từ lên sang xuống hoặc ngược lại để tìm cực trị.	Nhầm hoành độ cực trị với giá trị cực trị.
Tìm tham số để hàm đơn điệu	Trong $f$ có tham số $m$ và đề yêu cầu tăng, giảm trên một miền	Chuyển yêu cầu thành $f'(x)\ge0$ hoặc $f'(x)\le0$ với mọi $x$ trong miền, rồi giải điều kiện của $m$.	Chỉ kiểm tra tại một vài giá trị của $x$ thay vì trên toàn miền.

Ví dụ tham số: Tìm $m$ để $f(x)=x^3-3mx+1$ đồng biến trên $\mathbb R$. Ta có $f'(x)=3(x^2-m)$. Muốn $f'\ge0$ với mọi $x$, giá trị nhỏ nhất của $x^2-m$ tại $x=0$ phải không âm, tức $-m\ge0$. Vậy $m\le0$.

Bẫy sai thường gặp

• Sai: thấy $f'(x_0)=0$ liền kết luận có cực trị. Sửa: phải kiểm tra sự đổi dấu của $f'$ hoặc dùng dấu hiệu đạo hàm cấp hai khi đủ điều kiện.
• Sai: gộp hai khoảng qua điểm không thuộc tập xác định. Sửa: luôn đặt các điểm loại của tập xác định vào bảng xét dấu.
• Sai: trả lời “cực đại tại $2$” trong khi $2$ là giá trị hàm. Sửa: ghi rõ cực đại tại $x=x_0$, giá trị cực đại bằng $f(x_0)$.

Phản ví dụ: Với $f(x)=x^3$, $f'(0)=0$ nhưng $f'$ dương ở cả hai phía của $0$. Hàm vẫn đồng biến qua $0$, nên không có cực trị tại đó.

Bài tập tự luyện Bài 1

1. Nếu $f'(x)=(x-2)^2(x+1)$, hãy tìm khoảng đơn điệu và điểm cực trị.
2. Tìm các điểm cực trị của $f(x)=x^4-2x^2$.
3. Tìm $m$ để $f(x)=x^3-3mx+2$ đồng biến trên $\mathbb R$.
4. Biết $f'>0$ trên $(-\infty;-2)$, $f'<0$ trên $(-2;1)$ và $f'>0$ trên $(1;+\infty)$. Hãy xác định loại cực trị tại hai mốc.
5. Nếu $f'(x)=(x-1)^2(x+3)^2$, hàm số có điểm cực trị không?

Gợi ý và đáp án Bài 1

1. $f'<0$ trên $(-\infty;-1)$, $f'>0$ trên $(-1;2)$ và $(2;+\infty)$. Hàm có cực tiểu tại $x=-1$; $x=2$ không phải điểm cực trị vì $f'$ không đổi dấu.
2. $f'=4x(x-1)(x+1)$. Hàm có cực tiểu tại $x=\pm1$ và cực đại tại $x=0$.
3. Giống ví dụ tham số: $f'=3(x^2-m)\ge0$ với mọi $x$ khi và chỉ khi $m\le0$.
4. Tại $x=-2$, $f'$ đổi từ dương sang âm nên có cực đại. Tại $x=1$, $f'$ đổi từ âm sang dương nên có cực tiểu.
5. Không. Đạo hàm không âm và không đổi dấu khi đi qua $x=-3$ hay $x=1$; hàm số vẫn đồng biến.

Khi đã có bảng biến thiên, ta không chỉ tìm được cực trị mà còn có thể so sánh các giá trị của hàm số trên cả miền đang xét. Ý tưởng này sẽ được dùng ngay trong Bài 2.

Video giảng lại Bài 1

Video sẽ hữu ích hơn nếu em đã tự lập ít nhất một bảng dấu. Khi giáo viên tìm được một nghiệm của $f'=0$, có thể tạm dừng video, tự xét dấu hai phía rồi mới xem tiếp lời giải.

Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Cực trị chỉ mô tả hành vi của hàm số quanh một điểm. Khi đề hỏi giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất, ta phải so sánh trên toàn bộ miền được cho và kiểm tra xem hàm có thật sự đạt tới giá trị đó hay không.

Hiểu đúng chữ “đạt được”

Số $M$ là giá trị lớn nhất của $f$ trên $D$ nếu $f(x)\le M$ với mọi $x\in D$ và tồn tại ít nhất một $x_0\in D$ sao cho $f(x_0)=M$. Điều kiện tồn tại $x_0$ cho biết hàm phải thật sự chạm tới $M$, không chỉ tiến gần.

Cực đại là đỉnh trong một vùng lân cận; giá trị lớn nhất là mức cao nhất khi so với toàn bộ miền. Một hàm có thể có nhiều cực đại nhưng chỉ một giá trị lớn nhất, hoặc có cực đại nhưng không có giá trị lớn nhất trên miền đang xét.

Quy tắc trên đoạn đóng

Nếu $f$ liên tục trên đoạn $[a;b]$, hàm luôn đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất. Quy trình chuẩn:

1. Tính $f'(x)$ và tìm các điểm tới hạn $x_i\in(a;b)$.
2. Tính $f(a)$, $f(b)$ và $f(x_i)$.
3. So sánh tất cả các giá trị. Số lớn nhất là GTLN, số nhỏ nhất là GTNN.

Vì sao phải xét đầu mút? Vì đạo hàm chỉ tìm được các ứng viên ở bên trong đoạn, trong khi mức lớn nhất hoặc nhỏ nhất hoàn toàn có thể nằm tại biên.

Ví dụ mẫu: một giá trị có thể đạt tại nhiều điểm

Tìm GTLN, GTNN của $f(x)=x^3-3x$ trên $[-2;2]$.

1. $f'(x)=3(x-1)(x+1)$, nên các điểm tới hạn trong đoạn là $x=-1,1$.
2. Tính: $f(-2)=-2$, $f(-1)=2$, $f(1)=-2$, $f(2)=2$.
3. Vậy GTLN bằng $2$, đạt tại $x=-1$ và $x=2$; GTNN bằng $-2$, đạt tại $x=-2$ và $x=1$.

Ở ví dụ này, GTLN chỉ là một con số duy nhất, nhưng hàm số đạt con số đó tại hai điểm khác nhau. Vì vậy, khi trình bày kết quả, cần ghi cả giá trị và những điểm mà giá trị ấy được đạt.

Đoạn đóng khác khoảng mở như thế nào?

Trên khoảng mở, đầu mút không thuộc miền nên không được lấy giá trị tại đó. Chẳng hạn $f(x)=x$ trên $(0;1)$ luôn nhỏ hơn $1$ nhưng không bao giờ bằng $1$; do đó hàm không có GTLN. Tương tự, hàm không có GTNN vì không đạt $0$.

Miền	Công cụ chính	Điều cần cảnh giác
Đoạn đóng $[a;b]$	So sánh giá trị tại điểm tới hạn và đầu mút	Không bỏ quên $a,b$.
Khoảng hoặc nửa khoảng	Bảng biến thiên và giới hạn	Cận trên/cận dưới có thể không đạt được.
Miền không bị chặn	Bảng biến thiên và giới hạn ở vô cực	Hàm có thể không có GTLN hoặc GTNN.

Nhận dạng bài GTLN và GTNN

Dạng bài	Nhận biết trong đề	Cách xử lý	Điểm dễ sai
GTLN, GTNN trên đoạn $[a;b]$	Miền là một đoạn đóng	Tìm điểm tới hạn trong $(a;b)$, tính giá trị hàm tại các điểm ấy và hai đầu mút, rồi so sánh.	Bỏ quên $f(a)$ hoặc $f(b)$.
GTLN, GTNN trên khoảng hoặc nửa khoảng	Miền có đầu mút không được lấy	Lập bảng biến thiên và tính giới hạn tại các đầu miền. Chỉ kết luận có GTLN, GTNN khi giá trị đó được đạt tại một điểm thuộc miền.	Nhầm cận trên với giá trị lớn nhất.
Đọc GTLN, GTNN từ đồ thị hoặc bảng biến thiên	Đề cho hình vẽ hoặc các mũi tên biến thiên	Xác định đúng phần miền được hỏi, rồi tìm tung độ cao nhất và thấp nhất trên phần đó.	Đọc cực đại địa phương thay cho GTLN toàn miền.
Tìm tham số để GTLN, GTNN thỏa điều kiện	Đề có $m$ và cho trước một giá trị cực biên	Xác định ứng viên phụ thuộc $m$, so sánh với đầu mút hoặc giới hạn, sau đó giải phương trình hay bất phương trình theo điều kiện đề bài.	Giải được $m$ nhưng không kiểm tra miền và vị trí điểm đạt.
Bài toán có căn, trị tuyệt đối hoặc hàm hợp	Đạo hàm trực tiếp dài hoặc miền bị chia nhỏ	Tìm miền trước; tận dụng đặt ẩn phụ, tính đối xứng hoặc chia miền rồi mới dùng đạo hàm.	Lấy đạo hàm trước khi xác định điều kiện của biểu thức.

Cách chọn nhanh: thấy đoạn đóng thì nghĩ tới bảng giá trị; thấy khoảng mở hoặc miền vô hạn thì nghĩ tới bảng biến thiên và giới hạn. Nếu đề cho sẵn đồ thị, hãy đọc trực tiếp thay vì tính lại từ đầu.

Bài tập tự luyện Bài 2

1. Tìm GTLN, GTNN của $f(x)=x^2-4x+1$ trên $[0;5]$.
2. Hàm $f(x)=\dfrac1x$ có GTNN trên $(0;+\infty)$ không? Giải thích.
3. Một hàm liên tục trên $[a;b]$ có thể không đạt GTLN không?
4. Tìm GTLN, GTNN của $f(x)=x+\dfrac1x$ trên $[1/2;4]$.
5. Hàm $f(x)=x$ trên $(0;2]$ có GTLN và GTNN không?

Gợi ý và đáp án Bài 2

1. $f'(x)=2x-4=0$ tại $x=2$. So sánh $f(0)=1$, $f(2)=-3$, $f(5)=6$: GTLN bằng $6$, GTNN bằng $-3$.
2. Không. Khi $x\to+\infty$, $1/x\to0$ nhưng $1/x$ không bằng $0$ với bất kỳ $x>0$ nào.
3. Không. Định lí bảo đảm hàm liên tục trên đoạn đóng luôn đạt cả GTLN và GTNN.
4. $f'(x)=1-1/x^2=0$ tại $x=1$. So sánh $f(1/2)=5/2$, $f(1)=2$, $f(4)=17/4$: GTNN bằng $2$, GTLN bằng $17/4$.
5. GTLN bằng $2$, đạt tại $x=2$. Hàm không có GTNN vì các giá trị tiến gần $0$ khi $x\to0^+$ nhưng không bao giờ bằng $0$.

Ở những miền bị ngắt bởi điểm gián đoạn hoặc kéo dài ra vô cực, giới hạn trở thành công cụ không thể thiếu. Phần tiếp theo sẽ dùng giới hạn để xác định các đường mà đồ thị tiến lại gần.

Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Khi một nhánh đồ thị tiến ra xa hoặc tiến gần một điểm gián đoạn, nó có thể áp sát một đường thẳng. Đường thẳng đó là tiệm cận và được xác nhận bằng giới hạn, không phải chỉ bằng cảm giác nhìn hình.

Ba loại tiệm cận

• Tiệm cận đứng: $x=a$ nếu ít nhất một giới hạn một phía $\lim_{x\to a^-}f(x)$ hoặc $\lim_{x\to a^+}f(x)$ bằng $+\infty$ hay $-\infty$.
• Tiệm cận ngang: $y=b$ nếu $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ hoặc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$.
• Tiệm cận xiên: $y=ax+b$, $a\ne0$, nếu $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$ theo cùng một phía vô cực.

Để tìm tiệm cận xiên theo một phía vô cực, có thể tính $a=\lim\dfrac{f(x)}x$ rồi $b=\lim[f(x)-ax]$ theo chính phía đó. Hai giới hạn phải tồn tại và hữu hạn, đồng thời $a\ne0$. Với phân thức hữu tỉ, phép chia đa thức thường cho $a,b$ nhanh hơn.

Ví dụ mẫu: đọc tiệm cận từ phép chia đa thức

Xét $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$. Thực hiện phép chia:

$$f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}.$$

• Khi $x\to1^\pm$, phân thức $2/(x-1)$ có độ lớn vô hạn, nên $x=1$ là tiệm cận đứng.
• Khi $x\to\pm\infty$, $2/(x-1)\to0$, nên đồ thị tiến gần đường $y=x+1$. Đây là tiệm cận xiên.

Kiểm tra: Hiệu $f(x)-(x+1)=2/(x-1)$ tiến về $0$ ở cả hai phía vô cực.

Mẫu bằng 0 chưa chắc có tiệm cận đứng

Với $g(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$, tập xác định loại $x=1$, nhưng sau rút gọn $g(x)=x+1$ khi $x\ne1$. Giới hạn tại $1$ bằng $2$, không phải vô cực. Đồ thị chỉ có một “lỗ” tại $(1;2)$, không có tiệm cận đứng $x=1$.

Quy trình tìm tiệm cận

1. Tìm tập xác định và ghi lại các điểm làm mẫu bằng $0$.
2. Rút gọn nếu được nhưng không quên điểm đã bị loại.
3. Tính giới hạn một phía tại các điểm nghi ngờ để xét tiệm cận đứng.
4. Tính giới hạn khi $x\to+\infty$ và $x\to-\infty$ để xét tiệm cận ngang.
5. Nếu hàm tăng gần tuyến tính, chia đa thức hoặc tính $a,b$ để tìm tiệm cận xiên.

Nhận dạng bài tìm tiệm cận

Dạng bài	Nhận biết trong đề	Cách xử lý	Điểm dễ sai
Tìm tiệm cận đứng	Hàm có mẫu số, căn hoặc điểm gián đoạn	Tìm điểm nghi ngờ từ tập xác định, rút gọn nếu cần rồi tính giới hạn một phía. Chỉ cần một phía bằng $\pm\infty$.	Cứ mẫu bằng $0$ là kết luận có tiệm cận đứng.
Tìm tiệm cận ngang	Đề hỏi hành vi khi $x\to\pm\infty$	Tính riêng hai giới hạn ở $+\infty$ và $-\infty$. Mỗi giới hạn hữu hạn có thể cho một tiệm cận ngang.	Chỉ xét một phía vô cực.
Tìm tiệm cận xiên	Sau khi rút gọn, bậc tử lớn hơn bậc mẫu đúng một đơn vị hoặc hàm tăng gần tuyến tính	Ưu tiên chia đa thức. Nếu không thuận lợi, tính $a=\lim f(x)/x$ và $b=\lim[f(x)-ax]$ theo cùng một phía.	Tính $a$ ở $+\infty$ nhưng lại tính $b$ ở $-\infty$.
Đếm số tiệm cận từ bảng biến thiên hoặc đồ thị	Đề không cho công thức hàm số	Đọc các giới hạn ghi ở biên của từng khoảng xác định và hai phía vô cực; gom các đường trùng nhau trước khi đếm.	Đếm cùng một đường tiệm cận hai lần.
Tìm tham số để có số tiệm cận cho trước	Hàm chứa $m$ và đề hỏi số lượng hoặc vị trí tiệm cận	Xét điều kiện làm mẫu bằng $0$, khả năng khử nhân tử và giới hạn ở vô cực theo từng trường hợp của $m$.	Bỏ sót trường hợp tử và mẫu có nhân tử chung.

Bài tập tự luyện Bài 3

1. Tìm các tiệm cận của $f(x)=\dfrac{2x+3}{x-1}$.
2. Điểm $x=2$ có phải tiệm cận đứng của $g(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}$ không?
3. Tìm tiệm cận xiên của $h(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{x+1}$.
4. Một hàm có giới hạn vô cực khi $x\to1^\pm$ và có giới hạn bằng $2$ khi $x\to\pm\infty$. Hỏi đồ thị có những tiệm cận nào?
5. Tìm $m$ để $f(x)=\dfrac{x+m}{x-1}$ không có tiệm cận đứng.

Gợi ý và đáp án Bài 3

1. $f(x)=2+5/(x-1)$ nên có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$.
2. Không. $g(x)=x+2$ với $x\ne2$ và giới hạn tại $2$ bằng $4$.
3. $h(x)=x+1+2/(x+1)$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
4. Tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận ngang $y=2$.
5. Khi $m=-1$, tử và mẫu cùng có nhân tử $x-1$, hàm rút gọn thành $1$ với $x\ne1$ nên không có tiệm cận đứng. Với $m\ne-1$, $x=1$ vẫn là tiệm cận đứng.

Tiệm cận tạo nên phần khung của các nhánh đồ thị. Khi ghép phần khung ấy với bảng biến thiên và các giao điểm đặc biệt, ta đã có đủ dữ kiện để vẽ đồ thị một cách đáng tin cậy.

Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Một bản vẽ đúng phải đồng thời phù hợp với tập xác định, dấu đạo hàm, các giới hạn và những điểm đặc biệt của hàm số. Vì vậy, khảo sát hàm số là quá trình thu thập dữ kiện trước khi đặt bút vẽ, chứ không phải vẽ theo cảm tính.

Quy trình khảo sát hoàn chỉnh

1. Tập xác định: quyết định đồ thị tồn tại ở đâu và có bị chia thành nhiều nhánh không.
2. Đạo hàm: tìm điểm tới hạn, khoảng đơn điệu và cực trị.
3. Giới hạn và tiệm cận: mô tả hành vi tại biên miền và ở vô cực.
4. Điểm đặc biệt: giao với trục, tâm hoặc trục đối xứng nếu có.
5. Vẽ: đặt các điểm, tiệm cận rồi nối nhánh theo đúng bảng biến thiên.

Bảng biến thiên không phải thủ tục trang trí. Nó là bản thiết kế của đồ thị: mỗi mũi tên phải khớp với dấu đạo hàm và mỗi đầu nhánh phải khớp với giới hạn.

Nhận dạng bài khảo sát đồ thị

Dạng bài	Dấu hiệu hình dạng	Cách xử lý	Điểm dễ sai
Khảo sát hàm bậc ba $ax^3+bx^2+cx+d$	Hai đầu đồ thị đi ngược chiều; có thể có hai cực trị hoặc không	Dựa vào dấu của $a$ để xác định hướng hai đầu, giải phương trình bậc hai $f'=0$, tìm cực trị rồi tính các giao điểm cần thiết.	Vẽ hai đầu đồ thị cùng chiều.
Khảo sát hàm trùng phương $ax^4+bx^2+c$	Hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua $Oy$	Đặt $t=x^2$ khi giải giao trục; phân tích $f'=2x(2ax^2+b)$ và chỉ cần vẽ chính xác một nửa rồi lấy đối xứng.	Quên các điểm cực trị xuất hiện thành cặp đối xứng.
Khảo sát phân thức $\dfrac{ax+b}{cx+d}$ với $ad-bc\ne0$	Hai nhánh và hai tiệm cận vuông góc	Tìm tiệm cận đứng, ngang, tâm đối xứng, dấu đạo hàm và hai giao trục. Vẽ riêng trên từng khoảng xác định.	Nối hai nhánh qua tiệm cận đứng hoặc quên kiểm tra trường hợp suy biến.
Khảo sát phân thức bậc hai/bậc nhất	Có tiệm cận đứng và thường có tiệm cận xiên	Chia đa thức trước để nhìn tiệm cận xiên, sau đó tính đạo hàm, giới hạn một phía và giao điểm.	Vẽ nhánh cắt hoặc rời xa tiệm cận trái với giới hạn.
Nhận dạng hàm từ đồ thị	Đề cho hình và các phương án công thức	Loại dần bằng tập xác định, số cực trị, hướng hai đầu, đối xứng, giao trục và tiệm cận. Không cần khảo sát đầy đủ từng phương án.	Chỉ dựa vào một điểm đi qua đồ thị.
Biện luận giao điểm bằng đồ thị	Đề hỏi số nghiệm của $f(x)=m$ hoặc $f(x)=g(x)$	Xem số nghiệm là số giao điểm của đồ thị với đường $y=m$ hoặc đồ thị còn lại; dùng các mức cực trị để chia trường hợp.	Đếm tiếp xúc như hai giao điểm.

Ví dụ mẫu: khảo sát hàm phân thức

Khảo sát $y=\dfrac{x+1}{x-1}=1+\dfrac2{x-1}$.

1. $D=\mathbb R\setminus\{1\}$.
2. $y'=-\dfrac2{(x-1)^2}<0$ với mọi $x\ne1$, nên hàm nghịch biến trên $(-\infty;1)$ và $(1;+\infty)$.
3. $\lim_{x\to1^-}y=-\infty$, $\lim_{x\to1^+}y=+\infty$: tiệm cận đứng $x=1$.
4. $\lim_{x\to\pm\infty}y=1$: tiệm cận ngang $y=1$.
5. Giao $Ox$ tại $(-1;0)$; giao $Oy$ tại $(0;-1)$. Giao hai tiệm cận $I(1;1)$ là tâm đối xứng của đồ thị.

Khi vẽ, nhánh trái đi xuống từ gần $y=1$ tới $-\infty$ khi $x\to1^-$. Nhánh phải đi xuống từ $+\infty$ và tiến gần $y=1$ khi $x\to+\infty$.

Dòng	$(-\infty;1)$	$x=1$	$(1;+\infty)$
$f'(x)$	Âm	Không xác định	Âm
$f(x)$	Giảm từ $1^-$ xuống $-\infty$	Tiệm cận đứng	Giảm từ $+\infty$ xuống $1^+$

Cách tự kiểm tra bản vẽ

• Mũi tên trên từng nhánh có đúng với dấu $f'$ không?
• Đồ thị có đi qua các giao điểm đã tính không?
• Nhánh có tiến đúng phía của tiệm cận theo giới hạn một phía không?
• Nếu hàm chẵn, lẻ hoặc có tâm đối xứng, bản vẽ có thể hiện đúng đối xứng không?

Bài tập tự luyện Bài 4

1. Với $y=x^3-3x$, hãy nêu cực trị, giao trục và tính đối xứng trước khi vẽ.
2. Vì sao đồ thị $y=\dfrac{x+1}{x-1}$ không được nối liền qua $x=1$?
3. Hàm trùng phương $y=x^4-2x^2$ có trục đối xứng nào?
4. Dựa vào đồ thị của $y=x^3-3x$, biện luận số nghiệm của phương trình $x^3-3x=m$ theo $m$.
5. Một đồ thị có tiệm cận đứng $x=2$, tiệm cận ngang $y=1$ và tâm đối xứng $I(2;1)$. Đồ thị có thể thuộc họ hàm nào trong các họ đã học?

Gợi ý và đáp án Bài 4

1. Cực đại $(-1;2)$, cực tiểu $(1;-2)$; giao $Ox$ tại $x=-\sqrt3,0,\sqrt3$; hàm lẻ nên đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.
2. Vì $x=1$ không thuộc tập xác định và là tiệm cận đứng, chia đồ thị thành hai nhánh.
3. Trục $Oy$, vì $f(-x)=f(x)$.
4. Phương trình có ba nghiệm phân biệt khi $-2<m<2$; hai nghiệm phân biệt khi $m=\pm2$; một nghiệm khi $m<-2$ hoặc $m>2$.
5. Họ phân thức bậc nhất trên bậc nhất, có thể viết dưới dạng $y=1+\dfrac{k}{x-2}$ với $k\ne0$.

Bảng biến thiên cho biết một đại lượng tăng, giảm và đạt đỉnh hoặc đáy ở đâu. Trong bài toán thực tế, chính thông tin này giúp ta chọn phương án tốt nhất thay vì chỉ dừng ở việc vẽ đồ thị.

Bài 5: Ứng dụng đạo hàm giải quyết vấn đề thực tiễn

Trong các bài toán về chi phí, diện tích, thể tích hoặc thời gian, đề bài thường chưa cho sẵn hàm số. Việc đầu tiên là chuyển bối cảnh thực tế thành một hàm mục tiêu theo một biến; đạo hàm chỉ được dùng sau khi mô hình ấy đã đúng.

Điểm khó nhất là mô hình hóa

Trong bài thực tế, lấy đạo hàm thường không phải bước khó nhất. Khó nhất là chọn biến hợp lý, diễn tả các đại lượng khác theo biến đó, xác định miền và lập đúng hàm mục tiêu. Nếu hàm mục tiêu sai, mọi phép đạo hàm sau đó đều vô nghĩa.

Quy trình bốn bước

1. Chọn biến: ghi rõ biến đại diện cho đại lượng nào, đơn vị gì và miền giá trị.
2. Lập ràng buộc: dùng dữ kiện để biểu diễn các đại lượng còn lại theo biến.
3. Lập hàm mục tiêu: diện tích, thể tích, thời gian, chi phí, doanh thu hoặc lợi nhuận cần tối ưu.
4. Tối ưu và kết luận: dùng đạo hàm, kiểm tra biên, loại nghiệm vô nghĩa, làm tròn hợp lý và trả lời bằng câu.

Ví dụ mẫu: hộp không nắp có thể tích lớn nhất

Từ tấm bìa hình vuông cạnh $12$ cm, cắt bốn hình vuông cạnh $x$ ở bốn góc rồi gấp thành hộp không nắp. Tìm $x$ để thể tích lớn nhất.

1. Chọn biến và miền: chiều cao hộp là $x$; cạnh đáy là $12-2x$. Muốn các kích thước dương: $0<x<6$.
2. Hàm mục tiêu: $V(x)=x(12-2x)^2$.
3. Đạo hàm: $V'(x)=(12-2x)(12-6x)$.
4. Ứng viên: trong $(0;6)$ chỉ có $x=2$; $x=6$ là biên bị loại.
5. Kiểm tra: $V'$ dương trên $(0;2)$ và âm trên $(2;6)$, nên $V$ đạt lớn nhất tại $x=2$.
6. Trả lời: cần cắt các hình vuông cạnh $2$ cm; thể tích lớn nhất là $V(2)=2\cdot8^2=128\text{ cm}^3$.

Nhận dạng bài toán tối ưu thực tế

Dạng bài	Hàm mục tiêu thường dùng	Cách xử lý	Điều phải kiểm tra
Tối ưu hình học	Chu vi, diện tích hoặc thể tích	Chọn một kích thước làm biến, dùng ràng buộc để biểu diễn các kích thước còn lại, rồi lập hàm mục tiêu.	Mọi kích thước phải dương và hình phải tồn tại.
Tối ưu kinh tế	Doanh thu $R=pq$; lợi nhuận $P=R-C$	Biểu diễn giá bán, số lượng và chi phí theo cùng một biến; tối ưu đúng đại lượng đề hỏi.	Đơn vị tiền, miền số lượng và trường hợp số lượng phải là số nguyên.
Tối ưu chuyển động	Thời gian $T=s/v$ hoặc tổng thời gian các chặng	Chia hành trình thành các đoạn, viết thời gian từng đoạn theo vị trí cần chọn rồi cộng lại.	Vận tốc của từng môi trường và miền của điểm chuyển hướng.
Tối ưu khoảng cách	Bình phương khoảng cách $d^2$	Nếu chỉ cần tìm vị trí gần nhất hoặc xa nhất, tối ưu $d^2$ để tránh căn thức; kết quả vị trí không đổi.	Điểm cần tìm phải nằm trên đường hoặc miền đã cho.
Tối ưu sản xuất	Chi phí trung bình, năng suất hoặc lượng vật liệu	Viết tổng chi phí theo sản lượng, xác định công suất cho phép rồi dùng đạo hàm để tìm ứng viên.	Nghiệm liên tục có thể phải so sánh hai số nguyên gần nhất.

Cách bắt đầu: gạch chân đại lượng cần lớn nhất hoặc nhỏ nhất, chọn biến trực tiếp liên quan đến đại lượng đó, rồi viết miền của biến trước khi lập công thức. Nếu chưa viết được miền, mô hình thường vẫn chưa hoàn chỉnh.

Bẫy sai thường gặp

• Không ghi miền của biến, dẫn đến chọn nghiệm không thể xảy ra.
• Dùng nhầm đại lượng trung gian làm hàm mục tiêu.
• Chỉ giải $f'(x)=0$ mà không kiểm tra biên hoặc dấu đạo hàm.
• Đưa ra một con số không có đơn vị và không trả lời đúng câu hỏi thực tế.
• Làm tròn quá sớm khiến kết quả cuối sai đáng kể.

Bài tập tự luyện Bài 5

1. Hình chữ nhật có chu vi $20$ m. Tìm kích thước để diện tích lớn nhất.
2. Với bài toán hộp ở trên, vì sao $x=6$ không được nhận dù $V'(6)=0$?
3. Một doanh nghiệp bán $q$ sản phẩm với giá $p(q)$ và chi phí $C(q)$. Hãy viết hàm lợi nhuận.
4. Tìm điểm trên trục $Ox$ gần điểm $A(2;3)$ nhất.
5. Một sản phẩm có giá bán $p(q)=100-q$ và chi phí sản xuất $C(q)=20q$. Tìm sản lượng làm lợi nhuận lớn nhất, với $0\le q\le100$.

Gợi ý và đáp án Bài 5

1. Gọi một cạnh là $x$, cạnh kia $10-x$, $0<x<10$. $S=x(10-x)$ đạt lớn nhất tại $x=5$. Hình tối ưu là hình vuông cạnh $5$ m.
2. Khi $x=6$, cạnh đáy $12-2x=0$, hộp không tồn tại; hơn nữa miền là khoảng mở $(0;6)$.
3. $P(q)=q\,p(q)-C(q)$, với miền $q$ phù hợp năng lực sản xuất và yêu cầu số lượng.
4. Gọi điểm cần tìm là $M(x;0)$. Ta có $AM^2=(x-2)^2+9$, nhỏ nhất tại $x=2$. Vậy $M(2;0)$ và khoảng cách nhỏ nhất bằng $3$.
5. $P(q)=q(100-q)-20q=-q^2+80q$. Parabol đạt lớn nhất tại $q=40$; lợi nhuận lớn nhất bằng $1600$ theo đơn vị tiền của đề.

Bảng công thức và công cụ tra cứu nhanh

Đề hỏi gì?	Công cụ	Điều kiện cần nhớ	Lỗi dễ mắc
Đồng biến, nghịch biến	Dấu của $f'$	Xét trên từng khoảng thuộc tập xác định	Gộp qua điểm gián đoạn.
Cực trị	Sự đổi dấu của $f'$	Điểm phải thuộc miền xác định	Chỉ dựa vào $f'=0$.
GTLN, GTNN trên đoạn	So sánh $f(a),f(b),f(x_i)$	$f$ liên tục trên đoạn; $x_i$ ở trong đoạn	Quên đầu mút.
Tiệm cận đứng	Giới hạn một phía vô cực	Chỉ cần một phía bằng $\pm\infty$	Mẫu bằng $0$ là kết luận ngay.
Tiệm cận ngang	$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)$	Xét riêng $+\infty$ và $-\infty$	Chỉ xét một phía.
Tiệm cận xiên	$f(x)-(ax+b)\to0$	$a\ne0$; các giới hạn cùng phía	Nhầm với tiệm cận ngang.
Tối ưu thực tế	Hàm mục tiêu một biến	Miền và đơn vị có ý nghĩa	Chọn nghiệm không thực tế.

Sơ đồ chọn phương pháp khi đọc đề

1. Đề cho $f$, hỏi tăng giảm hoặc cực trị? Tính $f'$, tìm mốc và lập bảng dấu.
2. Đề cho đồ thị hoặc bảng dấu của $f'$? Đọc vị trí $f'$ dương, âm và đổi dấu; không cần tìm lại $f$.
3. Đề hỏi GTLN, GTNN? Xác định miền trước. Nếu là đoạn đóng, so sánh điểm tới hạn và đầu mút; nếu là khoảng, dùng thêm giới hạn.
4. Đề hỏi tiệm cận? Xem tập xác định, tính giới hạn tại điểm nghi ngờ và ở hai phía vô cực.
5. Đề yêu cầu vẽ? Thu thập đủ tập xác định, đạo hàm, giới hạn, tiệm cận, giao trục và đối xứng.
6. Đề có câu chuyện thực tế? Đừng lấy đạo hàm ngay. Hãy chọn biến, miền, ràng buộc và hàm mục tiêu trước.

Bài toán tổng hợp toàn chương

Đề bài: Cho $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$. Hãy tìm tiệm cận, xét biến thiên và xác định GTNN của hàm trên $(1;+\infty)$.

1. Tiệm cận: $f=x+1+2/(x-1)$ nên có tiệm cận đứng $x=1$ và tiệm cận xiên $y=x+1$.
2. Đạo hàm: $f'(x)=\dfrac{x^2-2x-1}{(x-1)^2}$. Trên $(1;+\infty)$, mẫu dương; tử bằng $0$ tại $x=1+\sqrt2$ và đổi từ âm sang dương.
3. Biến thiên: hàm nghịch biến trên $(1;1+\sqrt2)$, đồng biến trên $(1+\sqrt2;+\infty)$.
4. GTNN: do $f\to+\infty$ khi $x\to1^+$ và khi $x\to+\infty$, điểm đổi dấu âm → dương cho GTNN. Ta có $f(1+\sqrt2)=2+2\sqrt2$.

Trong cùng một lời giải, tiệm cận mô tả hành vi ở hai đầu miền, đạo hàm cho chiều biến thiên, còn bảng biến thiên xác nhận giá trị nhỏ nhất. Đây là cách ba nhóm kiến thức đầu chương phối hợp với nhau.

Kiểm tra cuối Chương 1

1. Đúng hay sai: Nếu $f'(x_0)=0$ thì $f$ chắc chắn có cực trị tại $x_0$.
2. Nếu $f'$ đổi dấu từ âm sang dương tại $x=2$, điểm nào là điểm cực tiểu của đồ thị?
3. Tìm GTNN của $x^2-4x+5$ trên $[0;3]$.
4. Đúng hay sai: Mọi nghiệm của mẫu số đều tạo tiệm cận đứng.
5. Tìm tiệm cận ngang của $y=\dfrac{3x-1}{x+2}$.
6. Tìm tiệm cận xiên của $y=\dfrac{x^2+1}{x-1}$.
7. Hàm $y=x^4-2x^2$ có bao nhiêu điểm cực trị?
8. Khi tối ưu diện tích hình chữ nhật có chu vi cố định, vì sao phải ghi $0<x<P/2$?
9. Cho $f'(x)=x(x-2)$. Hàm số đồng biến trên những khoảng nào?
10. Một hộp được tạo từ tấm vuông cạnh $12$ cm như ví dụ. Thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Đáp án và giải thích kiểm tra cuối chương

1. Sai. Cần kiểm tra sự đổi dấu; $f(x)=x^3$ là phản ví dụ.
2. Nếu tung độ là $f(2)$ thì điểm cực tiểu của đồ thị là $(2;f(2))$.
3. $f=(x-2)^2+1$, nên GTNN bằng $1$ tại $x=2$.
4. Sai. Nếu nhân tử bị khử và giới hạn hữu hạn, đó có thể chỉ là điểm khuyết.
5. $y=3-7/(x+2)$ nên tiệm cận ngang là $y=3$.
6. $y=x+1+2/(x-1)$ nên tiệm cận xiên là $y=x+1$.
7. Ba điểm: cực tiểu tại $x=\pm1$, cực đại tại $x=0$.
8. Để cả hai cạnh $x$ và $P/2-x$ đều dương; nghiệm ngoài miền không tạo được hình chữ nhật.
9. $f'>0$ trên $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$.
10. $128\text{ cm}^3$, đạt khi $x=2$ cm.

Tự đánh giá: Nếu dưới $6/10$, nên học lại Bài 1–3 và làm toàn bộ phần tự luyện. Với mức $6$–$7/10$, em cần chữa kỹ các câu sai rồi thử lại bài toán tổng hợp. Từ $8/10$ trở lên, em đã đủ nền để chuyển sang bài luyện tổng hợp của khóa học.

Kế hoạch học Chương 1 trong năm buổi

1. Buổi 1: làm kiểm tra đầu vào, học Bài 1 và tự lập ba bảng dấu.
2. Buổi 2: học Bài 2–3, luyện phân biệt cực trị với GTLN–GTNN và lỗ khuyết với tiệm cận đứng.
3. Buổi 3: học Bài 4, tự khảo sát một hàm bậc ba và một hàm phân thức.
4. Buổi 4: học Bài 5, giải ít nhất hai bài mô hình hóa và ghi đầy đủ miền, đơn vị.
5. Buổi 5: làm bài tổng hợp và kiểm tra cuối chương; câu nào sai thì quay lại đúng mục tương ứng.

Video ôn tập toàn chương

Video phù hợp để ôn lại sau khi đã học đủ năm bài. Mỗi khi giáo viên đưa ra một câu hỏi, em nên dừng vài phút để tự làm trước; phần lời giải sau đó sẽ giúp nhận ra bước suy luận mình còn thiếu.

Câu hỏi thường gặp

Có cần học thuộc toàn bộ bảng biến thiên mẫu không?

Không. Em cần biết tự dựng bảng từ tập xác định, dấu đạo hàm và giới hạn. Học thuộc hình mẫu mà không hiểu dấu $f'$ rất dễ khiến em vẽ sai khi đề thay đổi hệ số hoặc miền xác định.

Tại sao $f'(x)=0$ chưa đủ để kết luận cực trị?

Vì đạo hàm có thể bằng $0$ nhưng không đổi dấu. Cực trị đòi hỏi chiều biến thiên phải đổi từ tăng sang giảm hoặc ngược lại.

Khi nào dùng bảng giá trị, khi nào dùng bảng biến thiên để tìm GTLN–GTNN?

Trên đoạn đóng với hữu hạn điểm tới hạn, bảng giá trị thường nhanh nhất. Trên khoảng mở, miền không bị chặn hoặc khi cần thấy hành vi toàn miền, bảng biến thiên và giới hạn đáng tin cậy hơn.

Học sinh mất gốc nên bắt đầu từ đâu?

Nên bắt đầu từ phần kiểm tra đầu vào, đặc biệt là đạo hàm và bảng xét dấu. Nếu chưa lập được dấu của một tích, hầu hết các phần sau sẽ rất khó theo dõi. Một dấu hiệu cho thấy có thể chuyển bài là em tự làm lại được ví dụ mẫu mà không cần nhìn lời giải.

Tổng kết chương

Chương 1 được hiểu đúng khi em nhìn thấy một chuỗi nguyên nhân: đạo hàm cho độ dốc; dấu đạo hàm tạo chiều biến thiên; sự đổi dấu tạo cực trị; giới hạn tạo tiệm cận; các dữ kiện đó hợp thành đồ thị; cuối cùng bảng biến thiên giúp tìm phương án tối ưu.

Trước khi chuyển sang Chương 2: Vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian, em nên đạt bốn tiêu chí: tự lập được bảng dấu, phân biệt cực trị với GTLN–GTNN, xác nhận tiệm cận bằng giới hạn và lập được hàm mục tiêu kèm miền trong một bài toán thực tế.